OPERACIONES CON CONJUNTOS DIFUSOS

PARTE 3: Unión, Intersección de conjuntos difusos.

No podemos dibujar conjuntos difusos en términos de, pertenece o no pertenece, pues la lógica difusa permite representar un concepto de "vaguedad" en la pertenencia. 

Sin embargo cada conjunto difuso, posee una función pertenencia que determina qué tanto un elemento x del universo pertenece al conjunto.  Dicha función se define así:

∀A ⊆ U ∃ ƒ:μA(x) ⇒ [0,1]

Dom: {∀x | x ∈ U} 
Ran: [0,1] 

"Para todo conjunto A, perteneciente al universo U, existe una función miembro μA(x), cuyo dominio es el conjunto {∀x | x ∈ U} y su rango es el intervalo [0,1]"

Puede que no podamos manipular o ver directamente el conjunto difuso, sin embargo lo que nos interesa realmente es su función pertenencia μA(x), pues de esta manera podemos hacer operaciones con conjuntos difusos.

1. Unión.
   
   Sean A y B dos conjuntos difusos.
   
   
   (A ∧ B) ⊆ U ⇒ ∃μA(x) ∧ ∃μB(x) (1.1)
   
   (A ∧ B) ⊆ U ⇒ ∃ (A ∪ B) ⊆ U (1.2)
   
   entonces:
   (A ∪ B) ⊆ U ⇒ ∃ μA∪B(x) (1.3)
   
   μA∪B(x) = max (μA(x), μB(x)) (1.4)
   
   
   
   
   
   
   
   

   Si A y B pertenecen son subconjuntos difusos que pertenecen al universo, cada uno tiene una función pertenencia (1.1) y la unión de ambos es un subconjunto del Universo (1.2). Por lo tanto la unión de ambos es un conjunto difuso como tal y para dicho conjunto existe una función de pertenencia μA∪B(x) también (1.3). La función de pertenencia para la unión se define como el valor mayor entre los valores evaluados en la función de pertenencia  μA(x) y μB(x) (1.4).
   
   
2. Intersección.
   Sean A y B dos conjuntos difusos.
   
   
   (A ∧ B) ⊆ U ⇒ ∃μA(x) ∧ ∃μB(x) (2.1)
   
   
   (A ∧ B) ⊆ U ⇒ ∃ (A ∩ B) ⊆ U (2.2)
   
   
   entonces:
   (A ∩ B) ⊆ U ⇒ ∃ μA∩B(x) (2.3)
   
   μA∩B(x) = min (μA(x), μB(x)) (2.4)
   
   
   

   El mismo razonamiento que se aplica a la unión la aplicamos acá en la intersección. Finalmente tenemos también que el conjunto resultante de la intersección, también se puede manipular a través de su propia función pertenencia μA∩B(x) (2.3). La función se define como el valor menor entre los valores evaluados en la función de pertenencia  μA(x) y μB(x).
   
   
3. Complemento.
   Sean A y A' dos conjuntos difusos. El complemento de A se puede expresar a partir de su función de pertenencia. En la siguiente entrada veremos cuales son las propiedades de las funciones complemento.